高等代数，第四版，第三章P158，T24

数学兴趣大讲堂

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公理化集合论

在数学中，公理化集合论是集合论透过建立一阶逻辑的严谨重整，以解决朴素集合论中出现的悖论。集合论的基础主要由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末建立。

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

• 外延公理：（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。

• 分类公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。

• 配对公理：（Axiom of pairing）假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。

• 并集公理：（Axiom of union）每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。

• 空集公理：存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。

• 无穷公理：（Axiom of infinity）存在着一个集合x，空集{ }为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。

• 替代公理：（Axiom schema of replacement）

• 幂集公理：（Axiom of power set）每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。

• 正规公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。

• 选择公理：（Axiom of choice，Zermelo's version）给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的仅仅一个元素。

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